Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Trova gli autovalori.

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Passaggio 1.1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Passaggio 1.2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $2$ è la matrice quadrata $2 \times 2$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ I_{2})$

Passaggio 1.3.2

Sostituisci $I_{2}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 1.4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 1.4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3

Simplify each element.

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Passaggio 1.4.3.1

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.4.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 - λ \end{array}]$

Passaggio 1.5

Find the determinant.

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Passaggio 1.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (1 - λ) + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2

Semplifica il determinante.

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Passaggio 1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.2.1.1

Espandi $(1 - λ) (1 - λ)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.5.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1 (1 - λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = 1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.5.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.2.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$p (λ) = 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.2

Moltiplica $- λ$ per $1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - λ (- λ) + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = 1 - λ - λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.2.2

Sottrai $λ$ da $- λ$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0 \cdot 1$

Passaggio 1.5.2.1.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2} + 0$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $1 - 2 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = 1 - 2 λ + λ^{2}$

Passaggio 1.5.2.3

Sposta $1$ .

$p (λ) = - 2 λ + λ^{2} + 1$

Passaggio 1.5.2.4

Riordina $- 2 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 2 λ + 1$

Passaggio 1.6

Imposta il polinomio caratteristico pari a $0$ per trovare gli autovalori $λ$ .

$λ^{2} - 2 λ + 1 = 0$

Passaggio 1.7

Risolvi per $λ$ .

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Passaggio 1.7.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.7.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$λ^{2} - 2 λ + 1^{2} = 0$

Passaggio 1.7.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 λ = 2 \cdot λ \cdot 1$

Passaggio 1.7.1.3

Riscrivi il polinomio.

$λ^{2} - 2 \cdot λ \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Passaggio 1.7.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = λ$ e $b = 1$ .

${(λ - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 1.7.2

Poni $λ - 1$ uguale a $0$ .

$λ - 1 = 0$

Passaggio 1.7.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$λ = 1$

Passaggio 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Passaggio 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 1$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci i valori noti nella formula.

$N ([\begin{array}{c} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}] - [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai gli elementi corrispondenti.

$[\begin{array}{c} 1 - 1 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2

Simplify each element.

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Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 - 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.2

Sottrai $0$ da $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 - 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.3

Sottrai $0$ da $0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 1 - 1 \end{array}]$

Passaggio 3.2.2.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3

Find the null space when $λ = 1$ .

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Passaggio 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.2

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$y = 0$

$0 = 0$

Passaggio 3.3.3

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} x \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.4

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]$

Passaggio 3.3.5

Write as a solution set.

${x [\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}] | x \in R}$

Passaggio 3.3.6

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$

Passaggio 4

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}]}$